KDOC 48: 三角関数で単位円を使う理由

10年前に三角関数を初めて習ったとき、急に円を出す意味がわからなかった。三角比との違いもよくわからなかった。YouTubeの解説動画を見て、理解できた。

三角比は直角三角形の辺の比のこと。比なので相似な三角形はsin, cos, tanの値が同じ。0 < θ < 90 になる。

• sinθ = y/r
• cosθ = x/r
• tanθ = y/x

三角関数は単位円¹を使った三角形の比のこと、θの範囲を広げた。

• sinθ = y/r = y (r = 1なので)
• cosθ = x/r = x (r = 1なので)
• tanθ = y/x

三角形ではないので、θ = 0 や θ = 90 も考えられる。

また、単位円であることを利用して三角関数の相互関係が導ける。

• tanθ = y/x = sinθ / cosθ
• sin^2θ + cos^2θ = 1 … 斜辺1の直角三角形から三平方の定理による
• 1 + tan^2θ = 1 / (cos^2θ) … ↑式をベースに変形。tanθ = sinθ / cosθ を使ってsin^2θを消して関係を求める

単位円を導入することで、既存の法則と矛盾することなく値の範囲を広げられた。このように概念を導入する利点が何かを先に把握するのは役に立ちそうだ。矛盾なくものごとを組み立てる方法として参考になる。

関連。

• 中学数学からはじめる三角関数 - YouTube。解説動画
• Math。数学関連